<\/p>\n
Master 2 ATIAM (Acoustique Traitement du Signal Informatique et Musique) UPMC-Paris 6<\/p>\n
Traitement du Signal Musical<\/p>\n
Salle Shannon de l’IRCAM.<\/p>\n
Introduction aux s\u00e9ries de Volterra et aux syst\u00e8mes dynamiques non lin\u00e9aires<\/p>\n
12h<\/p>\n
Cours (9h) : Thomas H\u00e9lie,
\nTD Volterra\/FAUST (3h) : Thomas h\u00e9lie et Yann Orlarey<\/p>\n
De nombreux outils de traitement du signal reposent sur la notion de filtre et de fonction de transfert (syst\u00e8mes lin\u00e9aires). Pourtant, on rencontre bien souvent des probl\u00e8mes non lin\u00e9aires dans des domaines tels que l’acoustique, la m\u00e9canique, l’\u00e9lectronique, le traitement de signal, l’automatique, etc. Dans ce cas, la notion de filtre, de convolution et de fonction de transfert ne suffisent plus.\u00a0 Comment traiter le probl\u00e8me ?<\/p>\n
Les s\u00e9ries de Volterra fournissent pr\u00e9cis\u00e9ment un outil qui \u00e9tend le filtrage \u00e0 un cadre faiblement non lin\u00e9aire o\u00f9 l’entr\u00e9e peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme une perturbation r\u00e9guli\u00e8re du syst\u00e8me. Elles permettent de traiter correctement des combinaisons de ph\u00e9nom\u00e8nes impliquant des distorsions et de la m\u00e9moire, pour un syst\u00e8me stable autour d’un point d’\u00e9quilibre.
\nApr\u00e8s avoir introduit l’outil, nous donnerons une m\u00e9thode efficace de r\u00e9solution des probl\u00e8mes non lin\u00e9aires, qui permet aussi de les analyser et des les simuler num\u00e9riquement. Cette m\u00e9thode est illustr\u00e9e par des exemples concrets donnant des solutions adapt\u00e9es au temps r\u00e9el. Cette partie s’ach\u00e8ve par la r\u00e9alisation d’une application audio en langage FAUST.<\/p>\n
La seconde partie s’int\u00e9resse au cas plus g\u00e9n\u00e9ral de syst\u00e8mes \u00ab\u00a0fortement non lin\u00e9aires\u00a0\u00bb qui peuvent pr\u00e9senter des r\u00e9gimes vari\u00e9s et des bifurcations (point d’\u00e9quilibre, oscillations, chaos, etc). On introduit des concepts clefs et des outils de base pour leur analyse, illustr\u00e9s dans le cas de syst\u00e8mes \u00e0 temps discret.
\nCette deuxi\u00e8me partie est compl\u00e9t\u00e9e par un cours d’ouverture (temps continu et syst\u00e8mes passifs) dans l’Unit\u00e9 d’Enseignement des Projets Acoustique\/Musique (UE PAM)<\/p>\n
Projet avec compte-rendu.<\/p>\n
Pr\u00e9ambule<\/p>\n
1. Domaine temporel
\n1.1 D\u00e9finition des s\u00e9ries de Volterra
\n1.2 Exemples
\n1.3 Convergence
\n1.4 Noyaux temporels et unicit\u00e9<\/p>\n
2. Domaine de Laplace
\n2.1. Rappels sur la transform\u00e9e de Laplace
\n2.2. Noyaux de transfert<\/p>\n
3. Lois de composition de syst\u00e8mes
\n3.1 Somme
\n3.2 Produit
\n3.3 Cascade<\/p>\n
4. Exercices
\n4.1 Cas d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle et m\u00e9thode de r\u00e9solution
\n(a) Principe du syst\u00e8me annulateur
\n(b) Calcul des noyaux de transfert
\n(c) R\u00e9alisation en filtre et non-lin\u00e9arit\u00e9s instantan\u00e9e
\n(d) Simulation avec anti-repliement<\/p>\n
4.2 Cas d’une \u00e9quation aux d\u00e9riv\u00e9es partielles
\n(a-d) idem<\/p>\n
5. Application : simulation d’un filtre Moog
\n\u00e9nonc\u00e9 pdf ci-joint
\n(projet avec compte-rendu \u00e9valu\u00e9)<\/p>\n
Pr\u00e9ambule<\/p>\n
1. Repr\u00e9sentation d’\u00e9tat
\n1.1 Exemple du pendule
\n1.2 D\u00e9finition (temps continu)
\n1.3 D\u00e9finition (temps discret)<\/p>\n
2. Syst\u00e8mes non lin\u00e9aires \u00e0 temps discret
\n2.1 Exemples
\na) Cas lin\u00e9aire
\nb) Fonction logistique et illustration num\u00e9rique<\/p>\n
2.2 Point d’\u00e9quilibre
\na) D\u00e9finition
\nb) Stabilit\u00e9 de Lyapunov, stabilit\u00e9 asymptotique, bassin d’attraction
\nc) Analyse de la stabilit\u00e9
\nd) Exemple (fonction logistique)<\/p>\n
2.4 Orbites p\u00e9riodiques
\na) D\u00e9finition et stabilit\u00e9
\nb) Exemple (fonction logistique)<\/p>\n
2.5 Caract\u00e9risation de la stabilit\u00e9 d’une trajectoire et exposants de Lyapunov<\/p>\n
2.6 Aspects principaux du chaos<\/p>\n